कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = e^{x} + 1$ .फिर $d u = e^{x} d x$ , तो $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = e^{x} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$e^{x} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{x} + 0$

चरण 1.1.4.2

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$e^{x}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = e^{x} + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = e^{0} + 1$

चरण 1.3

सरल करें.

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चरण 1.3.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$u_{lower} = 1 + 1$

चरण 1.3.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 2$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = e^{x} + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = e^{1} + 1$

चरण 1.5

सरल करें.

$u_{upper} = e + 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e + 1$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{2}^{e + 1} \frac{1}{u} d u$

चरण 2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |)]_{2}^{e + 1}$

चरण 3

$e + 1$ पर और $2$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (| e + 1 |)) - \ln (| 2 |)$

चरण 4

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| e + 1 |}{| 2 |})$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

$e + 1$ लगभग $3.71828182$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\ln (\frac{e + 1}{| 2 |})$

चरण 5.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

दशमलव रूप:

$0.62011450 \dots$