कैलकुलस उदाहरण

$\int \sin^{5} (x) \cos^{2} (x) d x$

चरण 1

$\sin^{4} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

चरण 2

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

चरण 2.2

${\sin (x)}^{2 (2)}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

चरण 3

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (x)$ को $1 - \cos^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = \cos (x)$ .फिर $d u = - \sin (x) d x$ , तो $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = \cos (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\cos (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 4.1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- \sin (x)$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

चरण 5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

चरण 6

${(1 - u^{2})}^{2} u^{2}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ को $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) u^{2} d u$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

चरण 6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

चरण 6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

चरण 6.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

चरण 6.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

चरण 6.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} - u^{2} \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

चरण 6.8

$u^{2}$ ले जाएं.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

चरण 6.9

$u^{2}$ ले जाएं.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.10

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.11

$u^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.12

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int u^{2} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.13

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$- \int u^{2} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.14

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \int u^{2} - u^{2 + 2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.15

$2$ और $2$ जोड़ें.

$- \int u^{2} - u^{4} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.16

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.17

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$- \int u^{2} - u^{4} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.18

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.19

$2$ और $2$ जोड़ें.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.20

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.21

$u^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2} u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.22

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2 + 2} u^{2} d u$

चरण 6.23

$2$ और $2$ जोड़ें.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4} u^{2} d u$

चरण 6.24

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4 + 2} d u$

चरण 6.25

$4$ और $2$ जोड़ें.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{6} d u$

चरण 6.26

$- u^{4}$ में से $u^{4}$ घटाएं.

$- \int u^{2} - 2 u^{4} + u^{6} d u$

चरण 6.27

$- 2 u^{4}$ और $u^{6}$ को पुन: क्रमित करें.

$- \int u^{2} + u^{6} - 2 u^{4} d u$

चरण 6.28

$u^{2}$ ले जाएं.

$- \int u^{6} - 2 u^{4} + u^{2} d u$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- (\int u^{6} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{6}$ का समाकलन $\frac{1}{7} u^{7}$ है.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

चरण 9

चूँकि $- 2$ बटे $u$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{2} d u)$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$\frac{1}{5}$ और $u^{5}$ को मिलाएं.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

चरण 12.1.2

$\frac{1}{7}$ और $u^{7}$ को मिलाएं.

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

चरण 12.1.3

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{u^{3}}{3} + C)$

चरण 12.2

सरल करें.

$- (\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}) + C$

चरण 13

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$- (\frac{\cos^{7} (x)}{7} - \frac{2 \cos^{5} (x)}{5} + \frac{\cos^{3} (x)}{3}) + C$

चरण 14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- (\frac{1}{7} \cos^{7} (x) - \frac{2}{5} \cos^{5} (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + C$