कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- \frac{π}{4}}^{0} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \sec (x)$ .फिर $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , तो $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \sec (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sec (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है.

$\sec (x) \tan (x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \sec (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$2 π$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

चरण 1.3.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

चरण 1.3.3

$\sec (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{2}{\sqrt{2}}$ है.

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

चरण 1.3.4

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 1.3.5

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

चरण 1.3.5.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

चरण 1.3.5.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

चरण 1.3.5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

चरण 1.3.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 1.3.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 1.3.5.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 1.3.5.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 1.3.5.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 1.3.5.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

चरण 1.3.5.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

चरण 1.3.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

चरण 1.3.6.2

$\sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \sec (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sec (0)$

चरण 1.5

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

चरण 2

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1}$

चरण 3

घातांक को करणी से रद्द करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$1$ पर और $\sqrt{2}$ पर $\frac{1}{2} u^{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

चरण 3.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

चरण 3.2.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

चरण 3.3

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

चरण 3.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

चरण 3.3.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

चरण 3.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

चरण 3.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{1}$

चरण 3.3.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2$

चरण 3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2})$

चरण 3.4.1.2

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} + \frac{- 2}{2}$

चरण 3.4.1.3

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.3.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

चरण 3.4.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

चरण 3.4.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

चरण 3.4.1.3.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} - 1$

चरण 3.4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

चरण 3.4.2.2

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

चरण 3.4.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

चरण 3.4.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.4.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 2}{2}$

चरण 3.4.2.4.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{- 1}{2}$

चरण 3.4.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{2}$

चरण 4

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$- 0.5$