कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{5} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{3} + 1$ .फिर $d u = 3 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x^{3} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x^{3} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} + 0$

चरण 1.1.5

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2}$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ को $u - 1$ के रूप में फिर से लिखें.

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चरण 2.1.1

$\sqrt[3]{u - 1}$ को ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

चरण 2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

चरण 2.1.3

$\frac{1}{3}$ और $3$ को मिलाएं.

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

चरण 2.1.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

चरण 2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int {(u - 1)}^{1} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

चरण 2.1.5

सरल करें.

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

चरण 2.2

$\frac{1}{3}$ और $u^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\int (u - 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

चरण 3.2

$u$ और $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{3}$ को मिलाएं.

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

चरण 3.3

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

चरण 3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

चरण 3.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

चरण 3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

चरण 3.7

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

चरण 4

$- 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3}$ को $- \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 11

सरल करें.

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चरण 11.1

सरल करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 11.2

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ को $\frac{2}{15} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 11.3

सरल करें.

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चरण 11.3.1

$\frac{2}{3}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 11.3.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3} + 1$ से बदलें.

$\frac{2}{15} {(x^{3} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{9} {(x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$