कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \sin (x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \cos (x)$ .फिर $d u = - \sin (x) d x$ , तो $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = \cos (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$\cos (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- \sin (x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \cos (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{4})$

चरण 1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \cos (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

चरण 1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} - u d u$

चरण 2

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} u d u$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$- (\frac{1}{2} u^{2}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}})$

चरण 4

$\frac{1}{2}$ पर और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ पर $\frac{1}{2} u^{2}$ का मान ज्ञात करें.

$- ((\frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

चरण 5

घातांक जोड़कर $\frac{1}{2}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2}$ से गुणा करें.

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चरण 5.1

$\frac{1}{2}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2}$ से गुणा करें.

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चरण 5.1.1

$\frac{1}{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- ({(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

चरण 5.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- ({(\frac{1}{2})}^{1 + 2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

चरण 5.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

दशमलव रूप:

$0.125$