कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = 2 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 2 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $2 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को $2 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.2

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.3

$- 4 \sin^{2} (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.4

$4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6

$4 \cos^{2} (t)$ को ${(2 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) \cos (t) d t$

चरण 2.2.2

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

चरण 2.2.3

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

चरण 2.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

चरण 2.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos^{2} (t) d t$

चरण 3

चूँकि $4$ बटे $t$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

चरण 4

$\cos^{2} (t)$ को $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{4}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 6.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 6.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 6.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

चरण 9

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 9.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 9.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 9.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 9.2

$t$ के लिए $u = 2 t$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

चरण 9.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$- \frac{π}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

चरण 9.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

चरण 9.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = - π$

चरण 9.4

$t$ के लिए $u = 2 t$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

चरण 9.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

चरण 9.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = π$

चरण 9.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

चरण 9.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 10

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

चरण 12

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

चरण 13

$\frac{1}{2}$ और $\sin (u)]_{- π}^{π}$ को मिलाएं.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

चरण 14

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{π}{2}$ पर और $- \frac{π}{2}$ पर $t$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

चरण 14.2

$π$ पर और $- π$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

चरण 14.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

चरण 14.3.2

$π$ और $π$ जोड़ें.

$2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

चरण 14.3.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

चरण 14.3.3.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$2 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$2 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

चरण 15.1.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$2 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

चरण 15.1.3

$2 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

चरण 15.1.4

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$2 (π + \frac{0 - 0}{2})$

चरण 15.1.5

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 (π + \frac{0 + 0}{2})$

चरण 15.1.6

$0$ और $0$ जोड़ें.

$2 (π + \frac{0}{2})$

चरण 15.2

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$2 (π + 0)$

चरण 16

$π$ और $0$ जोड़ें.

$2 π$

चरण 17

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$2 π$

दशमलव रूप:

$6.28318530 \dots$

चरण 18