कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

चरण 1

u-प्रतिस्थापन का उपयोग करके यह अभिन्न पूरा नहीं किया जा सका. Mathway दूसरी विधि का उपयोग करेगा.

चरण 2

मान लीजिए $x = 3 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 3 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $3 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

उत्पाद नियम को $3 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.1.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.1.3

$9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.2

$9$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.3

$- 9 \sin^{2} (t)$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.4

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ को ${(3 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$3 \sin (t)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.2.2

उत्पाद नियम को $3 (\sin (t))$ पर लागू करें.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3^{2} \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.2.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{3 \cos (t)}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.2.4

$3$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$3 \cos (t)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{3 (\cos (t))}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1

$9 \sin^{2} (t)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{3 (\cos (t))}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.2.5

$3$ और $\frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ को मिलाएं.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

चरण 3.2.6

$\frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ और $\cos (t)$ को मिलाएं.

$\int \frac{3 \cos (t) \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.7

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.8

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{3 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3 \sin^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.10

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.11

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.11.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.11.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.12

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ को $\cot^{2} (t)$ में बदलें.

$\int \cot^{2} (t) d t$

चरण 4

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\cot^{2} (t)$ को $- 1 + \csc^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

चरण 7

चूंकि $- \cot (t)$ का व्युत्पन्न $\csc^{2} (t)$ है, $\csc^{2} (t)$ का समाकलन $- \cot (t)$ है.

$- t + C - \cot (t) + C$

चरण 8

सरल करें.

$- t - \cot (t) + C$

चरण 9

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (\frac{x}{3})$ से बदलें.

$- \arcsin (\frac{x}{3}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

चरण 10

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \arcsin (\frac{1}{3} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$