कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (θ)}{\sqrt{1 + \sin (θ)}} d θ$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + \sin (θ)$ .फिर $d u = \cos (θ) d θ$ , तो $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 1 + \sin (θ)$ . $\frac{d u}{d θ}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$1 + \sin (θ)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d θ} [1 + \sin (θ)]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $θ$ के संबंध में $1 + \sin (θ)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ है.

$\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $θ$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $θ$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

चरण 1.1.3

$θ$ के संबंध में $\sin (θ)$ का व्युत्पन्न $\cos (θ)$ है.

$0 + \cos (θ)$

चरण 1.1.4

$0$ और $\cos (θ)$ जोड़ें.

$\cos (θ)$

चरण 1.2

$θ$ के लिए $u = 1 + \sin (θ)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 1.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$θ$ के लिए $u = 1 + \sin (θ)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1 + 1$

चरण 1.5.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 2.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

चरण 4

$2$ पर और $1$ पर $2 u^{\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

चरण 5

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2$ को $2^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

चरण 5.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

चरण 5.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

चरण 5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

चरण 5.4

$2$ और $1$ जोड़ें.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

चरण 6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

चरण 7

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

दशमलव रूप:

$0.82842712 \dots$