कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{3}}{5 - \frac{1}{2} x^{4}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 5 - \frac{1}{2} x^{4}$ .फिर $d u = - 2 x^{3} d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x^{3} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 5 - \frac{1}{2} x^{4}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$5 - \frac{1}{2} x^{4}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [5 - \frac{1}{2} x^{4}]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 - \frac{1}{2} x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ है.

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $- \frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{1}{2} x^{4}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$0 - \frac{1}{2} (4 x^{3})$

चरण 1.1.3.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 4 (\frac{1}{2}) x^{3}$

चरण 1.1.3.4

$- 4$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{- 4}{2} x^{3}$

चरण 1.1.3.5

$\frac{- 4}{2}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{- 4 x^{3}}{2}$

चरण 1.1.3.6

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

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चरण 1.1.3.6.1

$- 4 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$0 + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2}$

चरण 1.1.3.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

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चरण 1.1.3.6.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$0 + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)}$

चरण 1.1.3.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1}$

चरण 1.1.3.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 + \frac{- 2 x^{3}}{1}$

चरण 1.1.3.6.2.4

$- 2 x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$0 - 2 x^{3}$

चरण 1.1.4

$0$ में से $2 x^{3}$ घटाएं.

$- 2 x^{3}$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 2.2

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.3

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int - \frac{1}{2 u} d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 5

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

चरण 6

सरल करें.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $5 - \frac{1}{2} x^{4}$ से बदलें.

$- \frac{1}{2} \ln (| 5 - \frac{1}{2} x^{4} |) + C$