कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 1.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${\sqrt{u - 1}}^{2}$ को $u - 1$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sqrt{u - 1}$ को ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.5

सरल करें.

$\int \frac{u - 1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.2

$\frac{u - 1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{u - 1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.3

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{u - 1}{2 u} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$

चरण 4

$u - 1$ को $u$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$u$

$0$

$u$

$1$

चरण 4.2

भाज्य $u$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $u$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

चरण 4.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

चरण 4.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $u + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

चरण 4.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

चरण 4.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{u} d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u)$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (u + C + \int - \frac{1}{u} d u)$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (u + C - \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} (u + C - (\ln (| u |) + C))$

चरण 9

सरल करें.

$\frac{1}{2} (u - \ln (| u |)) + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (x^{2} + 1 - \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

चरण 11.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

चरण 11.2.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

चरण 11.2.3

$\frac{1}{2}$ और $\ln (| x^{2} + 1 |)$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

चरण 11.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} + C$

चरण 12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)) + \frac{1}{2} + C$