कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x \sin (\sqrt{x^{2} + 4})}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = x^{2} + 4$ .फिर $d u_{1} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = x^{2} + 4$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2} + 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 1.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 2} d u_{1}$

चरण 2.2

$2$ को $\sqrt{u_{1}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{2 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

चरण 4.2

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

चरण 4.3

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

चरण 4.4

घातांक को ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

चरण 4.4.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

चरण 4.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

चरण 5

मान लीजिए $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , तो $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 5.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

चरण 5.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

चरण 5.1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 5.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 5.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

चरण 5.1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

चरण 5.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

चरण 5.1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.8.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.1.8.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 6

चूँकि $2$ बटे $u_{2}$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 7.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 7.3

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 8

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{2})$ है.

$- \cos (u_{2}) + C$

चरण 9

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$- \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 9.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 4$ से बदलें.

$- \cos ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$