कैलकुलस उदाहरण

$\int 5 x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 - x^{2}$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 1 - x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$1 - x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 1.1.4

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int 5 {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ को $- u + 1$ के रूप में फिर से लिखें.

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चरण 2.1.1

$\sqrt{- u + 1}$ को ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int 5 {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int 5 {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.1.5

सरल करें.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 2.3

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$\int - 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.4

$\frac{1}{2}$ और $- 5$ को मिलाएं.

$\int \frac{- 5}{2} (- u + 1) \sqrt{u} d u$

चरण 2.5

$\sqrt{u}$ और $\frac{- 5}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot - 5}{2} (- u + 1) d u$

चरण 2.6

$- 5$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{- 5 \cdot \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

चरण 2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int - \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

चरण 4

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u + 1) d u$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u) + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

चरण 5.2

$\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

चरण 5.3

$\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.4

$\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ और $u$ को मिलाएं.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}} u}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.5

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \int - 1 \frac{5 (u^{\frac{1}{2}} u^{1})}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + 1}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.7

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1 + 2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.9

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.10

$\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.11

$- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ और $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

चरण 6

$- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ को $- \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- (\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

चरण 8

चूँकि $\frac{5}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{5}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

चरण 10

$\frac{2}{3}$ और $u^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

चरण 11

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

चरण 12

चूँकि $\frac{5}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{5}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{5}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

चरण 13

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{2}{5}$ और $u^{\frac{5}{2}}$ को मिलाएं.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

चरण 14.2

सरल करें.

$- (\frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{3} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 14.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- (\frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 15

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - x^{2}$ से बदलें.

$- (\frac{5}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$\frac{5}{3}$ और ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 16.2

$- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

चरण 16.3

$- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

चरण 16.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

चरण 16.5

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

चरण 17

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{3} (5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$