कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{2} e^{3 x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 3 x$ .फिर $d u_{1} = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 3 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

चरण 2

$\frac{1}{3}$ और $e^{u_{1}}$ को मिलाएं.

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

चरण 3

मान लीजिए $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , तो $3 d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\frac{u_{1}}{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$

चरण 3.1.2

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $\frac{u_{1}}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

चरण 3.1.4

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3}$

चरण 3.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int {u_{2}}^{2} e^{3 u_{2}} d u_{2}$

चरण 4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = {u_{2}}^{2}$ और $d v = e^{3 u_{2}}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

${u_{2}}^{2} (\frac{1}{3} e^{u_{3}}) - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{3}$ और $e^{u_{3}}$ को मिलाएं.

${u_{2}}^{2} \frac{e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

चरण 5.2

${u_{2}}^{2}$ और $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{3}$ और $e^{u_{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}}}{3} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

चरण 7.2

$\frac{e^{u_{3}}}{3}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}} \cdot 2}{3} \int u_{2} d u_{2})$

चरण 7.3

$2$ को $e^{u_{3}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} \int u_{2} d u_{2}$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{2}$ और ${u_{2}}^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

चरण 9.2

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$ को $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$\frac{1}{3}$ और ${u_{2}}^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{{u_{2}}^{2}}{3} e^{u_{3}} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 9.3.2

$\frac{{u_{2}}^{2}}{3}$ और $e^{u_{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 9.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 9.3.4

$e^{u_{3}}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{e^{u_{3}}}{3} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 9.3.5

${u_{2}}^{2}$ और $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + C$

चरण 9.3.6

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ में से $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ घटाएं.

$0 + C$

चरण 9.3.7

$0$ और $C$ जोड़ें.

$C$