कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 1.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${\sqrt{u - 1}}^{2}$ को $u - 1$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sqrt{u - 1}$ को ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.5

सरल करें.

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.2

$\frac{u - 1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

चरण 2.3

$2$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{2} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 4.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 4.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5

$(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.2

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.6

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 10.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{2}{3}$ और ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 12.2

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

चरण 12.3

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

चरण 12.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

चरण 12.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

$2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ में से $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

चरण 12.5.1.2

$2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ में से $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) - 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

चरण 12.5.1.3

$- 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)}{3} + C$

चरण 12.5.1.4

$2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)$ में से $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3)}{3} + C$

चरण 12.5.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 3)}{3} + C$

चरण 12.5.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.3.1

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{1} - 3)}{3} + C$

चरण 12.5.3.2

सरल करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1 - 3)}{3} + C$

चरण 12.5.4

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2)}{3} + C$

चरण 12.6

जोड़ना.

$\frac{1 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{2 \cdot 3} + C$

चरण 12.7

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{2 \cdot 3} + C$

चरण 12.8

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{3} + C$

चरण 12.9

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2)}{3} + C$