कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2} - 3 (u - 1) + 2}{u} d u$

चरण 2

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} + \frac{- 3 (u - 1)}{u} + \frac{2}{u} d u$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u + \int \frac{- 3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 4

से गुणा करके सरल करें.

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चरण 4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 4.2

${(u - 1)}^{2}$ को $(u - 1) (u - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{(u - 1) (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{u (u - 1) - 1 (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 4.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 4.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 4.6

$u$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \frac{u \cdot u - 1 \cdot u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 5

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{u^{1} u - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 6

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{u^{1} u^{1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{u^{1 + 1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 8.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 8.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u + 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 9

$- 1 u$ में से $1 u$ घटाएं.

$\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 10

$u^{2} - 2 u + 1$ को $u$ से विभाजित करें.

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चरण 10.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

चरण 10.2

भाज्य $u^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $u$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$

चरण 10.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

चरण 10.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $u^{2} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

चरण 10.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$

चरण 10.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

चरण 10.7

भाज्य $- 2 u$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $u$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

चरण 10.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	+	$0$

चरण 10.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 2 u + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$

चरण 10.10

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

चरण 10.11

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int u - 2 + \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 11

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int u d u + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 13

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 14

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 15

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - \int \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 16

चूँकि $3$ बटे $u$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - (3 \int \frac{u - 1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 17

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 \int \frac{u - 1}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 18

$u - 1$ को $u$ से विभाजित करें.

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चरण 18.1

$u$

$0$

$u$

$1$

चरण 18.2

भाज्य $u$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $u$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

चरण 18.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

चरण 18.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $u + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

चरण 18.5

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

चरण 18.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 \int 1 - \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 19

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 20

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C + \int - \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 21

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 22

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + \int \frac{2}{u} d u$

चरण 23

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 24

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + 2 (\ln (| u |) + C)$

चरण 25

सरल करें.

$\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \ln (| u |) - 3 u + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

चरण 26

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} u^{2} - 2 u + \ln (| u |) - 3 u + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

चरण 27

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.1

$- 2 u$ में से $3 u$ घटाएं.

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + \ln (| u |) + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

चरण 27.2

$\ln (| u |)$ और $3 \ln (| u |)$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + 4 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

चरण 27.3

$4 \ln (| u |)$ और $2 \ln (| u |)$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + 6 \ln (| u |) + C$

चरण 28

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 5 (x + 1) + 6 \ln (| x + 1 |) + C$