कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x + 2}{{(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x - 4$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 2 x - 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x - 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x - 4]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 1.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{\frac{u}{2} + 2 + 2}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\int \frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.2

$\frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3

जोड़ना.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} + 4)}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{u + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.6

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\int \frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.7

$\frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

चरण 2.8

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u + 8}{4 u^{\frac{3}{2}}} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 8}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$u^{\frac{3}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{4} \int (u + 8) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 4.2

घातांक को ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 4.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$\frac{3}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

चरण 4.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

चरण 4.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 5

$(u + 8) u^{- \frac{3}{2}}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 5.2

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 5.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 5.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 5.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 5.6

$2$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 5.7

$u^{\frac{- 1}{2}}$ और $8 u^{- \frac{3}{2}}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1}{4} \int 8 u^{- \frac{3}{2}} + u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{4} \int 8 u^{- \frac{3}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{4} (\int 8 u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

चरण 8

चूँकि $8$ बटे $u$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (8 \int u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{3}{2}}$ का समाकलन $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{4} (8 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{4} (8 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

चरण 11

सरल करें.

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{u^{\frac{1}{2}}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - 4$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

चरण 13.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

घातांक जोड़कर ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1.1

${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 ({(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.1.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{1}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.2

$2 {(2 x - 4)}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 (2 x - 4)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 4 x + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.5

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 4 x - 8}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.6

$- 16$ में से $8$ घटाएं.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 x - 24}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.7

$4 x - 24$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.7.1

$4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (x) - 24}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.7.2

$- 24$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 x + 4 \cdot - 6}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.7.3

$4 x + 4 \cdot - 6$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (x - 6)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.4

जोड़ना.

$\frac{1 (4 (x - 6))}{4 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.5

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 (4 (x - 6))}{4 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.6

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 (x - 6)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.7

$x - 6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 6}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$