कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 - x^{2}$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 1 - x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$1 - x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 1.1.4

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ को $- u + 1$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sqrt{- u + 1}$ को ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.1.5

सरल करें.

$\int (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 2.3

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int (- u + 1) (- \frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int (- u + 1) (\frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

चरण 4

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \int (- u + 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int - u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.2

$- u$ और $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.3

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{1}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.4

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{1}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.6

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.8

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5.9

$\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- (\int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- (- \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

चरण 11

$\frac{2}{5}$ और $u^{\frac{5}{2}}$ को मिलाएं.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

चरण 13

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{2}{3}$ और $u^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$

चरण 14.2

सरल करें.

$- (- \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

चरण 15

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- (- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

चरण 16

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - x^{2}$ से बदलें.

$- (- \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

चरण 17

सरल करें.

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चरण 17.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 17.1.1

${(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

चरण 17.1.2

$\frac{1}{3}$ और ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

चरण 17.2

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

चरण 17.3

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

चरण 17.4

प्रत्येक व्यंजक को $15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

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चरण 17.4.1

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

चरण 17.4.2

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

चरण 17.4.3

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5}) + C$

चरण 17.4.4

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15}) + C$

चरण 17.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3 + {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

चरण 17.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 17.6.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

चरण 17.6.2

$5$ को ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

चरण 17.7

$- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

चरण 17.8

$5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

चरण 17.9

$- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

चरण 17.10

$- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ को $- 1 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{- 1 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

चरण 17.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

चरण 17.12

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

चरण 17.13

$\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

चरण 18

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{15} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$