कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x^{2} + x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{2} + x$ .फिर $d u = (2 x + 1) d x$ , तो $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x^{2} + x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x^{2} + x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 x + 1$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = x^{2} + x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

चरण 1.3

सरल करें.

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चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0 + 0$

चरण 1.3.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = x^{2} + x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

चरण 1.5

सरल करें.

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चरण 1.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 + 1$

चरण 1.5.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{2} e^{u} d u$

चरण 2

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{u}]_{0}^{2}$

चरण 3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.1

$2$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$(e^{2}) - e^{0}$

चरण 3.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$e^{2} - 1 \cdot 1$

चरण 3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{2} - 1$

चरण 4

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$e^{2} - 1$

दशमलव रूप:

$6.38905609 \dots$