कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 + x^{4}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + x^{4}$ .फिर $d u = 4 x^{3} d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 1 + x^{4}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$1 + x^{4}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$0 + 4 x^{3}$

चरण 1.1.5

$0$ और $4 x^{3}$ जोड़ें.

$4 x^{3}$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

चरण 2.2

$4$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

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चरण 4.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 4.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

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चरण 4.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 4.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ को $\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 6.2

$\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ को $\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{4}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$