कैलकुलस उदाहरण

$\int 2 x \sqrt{x - 5} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x - 5$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x - 5$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x - 5$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int 2 (u + 5) \sqrt{u} d u$

चरण 2

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int (u + 5) \sqrt{u} d u$

चरण 3

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$2 \int (u + 5) u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4

$(u + 5) u^{\frac{1}{2}}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4.2

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 \int u^{1 + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$2 \int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4.6

$2$ और $1$ जोड़ें.

$2 \int u^{\frac{3}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4.7

$u^{\frac{3}{2}}$ और $5 u^{\frac{1}{2}}$ को पुन: क्रमित करें.

$2 \int 5 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (\int 5 u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 6

चूँकि $5$ बटे $u$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (5 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$\frac{2}{3}$ और $u^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

चरण 9.1.2

$\frac{2}{5}$ और $u^{\frac{5}{2}}$ को मिलाएं.

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

चरण 9.2

सरल करें.

$2 (\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

चरण 9.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 (\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 5$ से बदलें.

$2 (\frac{10}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$\frac{10}{3}$ और ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 11.1.2

$\frac{2}{5}$ और ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

चरण 11.2

$\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

चरण 11.3

$\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

चरण 11.4

प्रत्येक व्यंजक को $15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

$\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

चरण 11.4.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

चरण 11.4.3

$\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

चरण 11.4.4

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

चरण 11.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

चरण 11.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1

$10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3$ में से $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1.1

व्यंजक को पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1.1.1

${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ ले जाएं.

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

चरण 11.6.1.1.2

${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ ले जाएं.

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 11.6.1.2

$10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ में से $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 11.6.1.3

$2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ में से $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

चरण 11.6.1.4

$2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})$ में से $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

चरण 11.6.2

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

चरण 11.6.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.3.1

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{1})}{15} + C$

चरण 11.6.3.2

सरल करें.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 (x - 5))}{15} + C$

चरण 11.6.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x + 3 \cdot - 5)}{15} + C$

चरण 11.6.3.4

$3$ को $- 5$ से गुणा करें.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x - 15)}{15} + C$

चरण 11.6.4

$25$ में से $15$ घटाएं.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$

चरण 11.7

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.7.1

$2$ और $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

चरण 11.7.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4 ({(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

$\frac{4 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$