कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \cos (x)$ .फिर $d u = - \sin (x) d x$ , तो $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \cos (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\cos (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- \sin (x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \cos (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (0)$

चरण 1.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \cos (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

चरण 1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

चरण 2

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{2}$ पर और $1$ पर $\frac{1}{4} u^{4}$ का मान ज्ञात करें.

$- ((\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\frac{1}{4}$ को $4^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- ({(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2.3

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- (2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2.5

$\frac{1}{2}$ को $2^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2.6

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2.7

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2.9

घातांक को ${(2^{- 1})}^{4}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.9.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2.9.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2.10

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- (2^{- 2 - 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2.11

$- 2$ में से $4$ घटाएं.

$- (2^{- 6} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2.12

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (\frac{1}{2^{6}} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.2.13

$2$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

चरण 4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

चरण 4.3.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4})$

चरण 4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$- \frac{1}{4}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{16}{16}$ से गुणा करें.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{16})$

चरण 4.4.2

प्रत्येक व्यंजक को $64$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{16}{16}$ से गुणा करें.

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{4 \cdot 16})$

चरण 4.4.2.2

$4$ को $16$ से गुणा करें.

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{64})$

चरण 4.4.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1 - 16}{64}$

चरण 4.4.4

$1$ में से $16$ घटाएं.

$- \frac{- 15}{64}$

चरण 4.4.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{15}{64}$

चरण 4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{15}{64})$

चरण 4.5.2

$\frac{15}{64}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{15}{64}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{15}{64}$

दशमलव रूप:

$0.234375$