कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

चरण 1

मान लीजिए $u = \cos (t)$ .फिर $d u = - \sin (t) d t$ , तो $- d u = \sin (t) d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \cos (t)$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\cos (t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

चरण 1.1.2

$t$ के संबंध में $\cos (t)$ का व्युत्पन्न $- \sin (t)$ है.

$- \sin (t)$

चरण 1.2

$t$ के लिए $u = \cos (t)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (0)$

चरण 1.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$t$ के लिए $u = \cos (t)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{4})$

चरण 1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

चरण 2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \frac{1}{u^{2}} d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$u^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

चरण 4.2

घातांक को ${(u^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

चरण 4.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{- 2} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- 2}$ का समाकलन $- u^{- 1}$ है.

$- (- u^{- 1}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

चरण 6

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ पर और $1$ पर $- u^{- 1}$ का मान ज्ञात करें.

$- ((- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

चरण 7

आधार को उसके व्युत्क्रम के रूप में फिर से लिखकर घातांक के चिह्न को बदलें.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1^{- 1})$

चरण 8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

दशमलव रूप:

$0.41421356 \dots$