कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{3} \sqrt{1 + x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + x^{2}$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 1 + x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$1 + x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 x$

चरण 1.1.5

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int {\sqrt{u - 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

${\sqrt{u - 1}}^{2}$ को $u - 1$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$\sqrt{u - 1}$ को ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\int {(u - 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int {(u - 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int {(u - 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.1.5

सरल करें.

$\int (u - 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.2

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt{u}$ को मिलाएं.

$\int (u - 1) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 2.2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int (u - 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.2

$u$ और $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.3

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.7

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 4

$- 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ को $- \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

सरल करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 11.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ को $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 11.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$\frac{2}{3}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 11.3.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 11.3.3

$2$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 11.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.3.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 11.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 11.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{5} {(1 + x^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$