कैलकुलस उदाहरण

$\int (3 y - 1) \sqrt{3 y^{2} - 2 y} d y$

चरण 1

मान लीजिए $u = 3 y^{2} - 2 y$ .फिर $d u = (6 y - 2) d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = (3 y - 1) d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 3 y^{2} - 2 y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$3 y^{2} - 2 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} - 2 y]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 y^{2} - 2 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ है.

$\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 y + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.4.1

चूंकि $- 2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2 y$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$6 y - 2 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 y - 2 \cdot 1$

चरण 1.1.4.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$6 y - 2$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

चरण 4

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ को $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ को $\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $3 y^{2} - 2 y$ से बदलें.

$\frac{1}{3} {(3 y^{2} - 2 y)}^{\frac{3}{2}} + C$