कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ .फिर $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , तो $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$e^{x} + e^{- x}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 1.1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

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चरण 1.1.4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.1.4.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.1.4.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.1.4.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

चरण 1.1.4.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

चरण 1.1.4.5

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

चरण 1.1.4.6

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} - e^{- x}$

चरण 1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 2

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| u_{2} |) + C$

चरण 3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{x} + e^{- x}$ से बदलें.

$\ln (| e^{x} + e^{- x} |) + C$