कैलकुलस उदाहरण

$\int \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \sin (2 x)$ .फिर $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \sin (2 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$\sin (2 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

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चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

चरण 1.1.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 1.1.3.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (2 x) \cdot 2$

चरण 1.1.3.3.2

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cos (2 x)$

चरण 1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 2

$u_{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ को $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ को $\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 6

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (2 x)$ से बदलें.

$\frac{1}{4} \sin^{2} (2 x) + C$