कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 1

भिन्न $\frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 3

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4

$x$ के संबंध में $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\arctan (x) + C$ है.

$\arctan (x) + C + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 1 + x^{2}$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 1 + x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$1 + x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 5.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 5.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 x$

चरण 5.1.5

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 6.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

चरण 9

सरल करें.

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$