कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{5 x + 4}{2 x + 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x + 1$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 2 x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 1.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 2 x + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 1.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 2 x + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 2 + 1$

चरण 1.5.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 3$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{2 u} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u} d u$

चरण 4

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{u} + \frac{4}{u} d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 6

चूँकि $5$ बटे $u$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 7.2

जोड़ना.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 7.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 7.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 7.5

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 7.6

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 7.7

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 7.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 7.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 7.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 7.7.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u - 1}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{u - 1}{u} d u) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 9

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{u}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 11

$u$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{u}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 11.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 12

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 14

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 15

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3}))) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 16

$\frac{1}{2}$ और $5$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

चरण 17

चूँकि $4$ बटे $u$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + 4 \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)$

चरण 18

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| u |)]_{1}^{3}))$

चरण 19

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

चरण 20

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} 2 x + 1]_{1}^{3} + \frac{5}{2} (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

चरण 20.2

$\frac{5}{2}$ और $2 x + 1]_{1}^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3})}{2} + \frac{5}{2} (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

चरण 20.3

$\frac{5}{2}$ और $\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3})}{2} - \frac{5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

चरण 20.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

चरण 20.5

$5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.5.1

$- 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

चरण 20.5.2

$5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

चरण 20.6

$4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot \frac{2}{2})$

चरण 20.7

$4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + \frac{4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2})$

चरण 20.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

चरण 20.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

चरण 20.9.2

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

चरण 20.9.3

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) + 8 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$

चरण 20.9.4

$- 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ और $8 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$

चरण 20.10

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.10.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2 \cdot 2}$

चरण 20.10.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{4}$

चरण 21

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{4} (5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$