कैलकुलस उदाहरण

$\int x e^{2 x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{u}{2} e^{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$\frac{u}{2}$ और $e^{u}$ को मिलाएं.

$\int \frac{u e^{u}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.2

$\frac{u e^{u}}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{u e^{u}}{2 \cdot 2} d u$

चरण 2.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u e^{u}}{4} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int u e^{u} d u$

चरण 4

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = u$ और $dv = e^{u}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{1}{4} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

चरण 5

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\frac{1}{4} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

चरण 6

सरल करें.

$\frac{1}{4} (u e^{u} - e^{u}) + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x} - e^{2 x}) + C$

चरण 8

सरल करें.

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चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

चरण 8.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 8.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (2)} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

चरण 8.2.2

$2 x e^{2 x}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (2)} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

चरण 8.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

चरण 8.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

चरण 8.3

$x$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x}{2} e^{2 x} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

चरण 8.4

$\frac{x}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

चरण 8.5

$\frac{1}{4}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

चरण 9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$