कैलकुलस उदाहरण

$\int (6 x^{2} + x) \csc^{2} (4 x^{3} + x^{2}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 4 x^{3} + x^{2}$ .फिर $d u = (12 x^{2} + 2 x) d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = (6 x^{2} + x) d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 4 x^{3} + x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$4 x^{3} + x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} + x^{2}]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$12 x^{2} + 2 x$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 2

$\csc^{2} (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \csc^{2} (u) d u$

चरण 4

चूंकि $- \cot (u)$ का व्युत्पन्न $\csc^{2} (u)$ है, $\csc^{2} (u)$ का समाकलन $- \cot (u)$ है.

$\frac{1}{2} (- \cot (u) + C)$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

सरल करें.

$\frac{1}{2} (- \cot (u)) + C$

चरण 5.2

$\frac{1}{2}$ और $\cot (u)$ को मिलाएं.

$- \frac{\cot (u)}{2} + C$

चरण 6

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x^{3} + x^{2}$ से बदलें.

$- \frac{\cot (4 x^{3} + x^{2})}{2} + C$

चरण 7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{2} \cot (4 x^{3} + x^{2}) + C$