कैलकुलस उदाहरण

$\int x \sqrt{4 - x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 4 - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 4 - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$4 - x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 1 \cdot 1$

चरण 1.1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 1$

चरण 1.1.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- 1$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int - (- u + 4) \sqrt{u} d u$

चरण 2

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int (- u + 4) \sqrt{u} d u$

चरण 3

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \int (- u + 4) u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4

$(- u + 4) u^{\frac{1}{2}}$ का प्रसार करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int - u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4.2

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$- \int - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4.3

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \int - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \int - u^{1 + \frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \int - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \int - u^{\frac{2 + 1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4.7

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4.8

$- u^{\frac{3}{2}}$ और $4 u^{\frac{1}{2}}$ को पुन: क्रमित करें.

$- \int 4 u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- (\int 4 u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 6

चूँकि $4$ बटे $u$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$- (4 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$- (4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- (4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$- (4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

चरण 10

सरल करें.

$- (\frac{8 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

चरण 11

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- (\frac{8}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $4 - x$ से बदलें.

$- (\frac{8}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 13

सरल करें.

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चरण 13.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 13.1.1

$\frac{8}{3}$ और ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5} {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 13.1.2

${(4 - x)}^{\frac{5}{2}}$ और $\frac{2}{5}$ को मिलाएं.

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

चरण 13.1.3

$2$ को ${(4 - x)}^{\frac{5}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

चरण 13.2

$\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

चरण 13.3

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

चरण 13.4

प्रत्येक व्यंजक को $15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

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चरण 13.4.1

$\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

चरण 13.4.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

चरण 13.4.3

$\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

चरण 13.4.4

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

चरण 13.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

चरण 13.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 13.6.1

$5$ को $8$ से गुणा करें.

$- \frac{40 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

चरण 13.6.2

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- \frac{40 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{15} (40 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$