कैलकुलस उदाहरण

$\int x \sqrt{2 x - 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x - 1$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 2 x - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$2 x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 1.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 2.1

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt{u}$ को मिलाएं.

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 2.2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.2

$\frac{u}{2}$ को $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.3

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.7

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.8

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

चरण 3.9

$\frac{1}{2}$ को $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} d u$

चरण 3.10

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सरल करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ को $\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9.3.2

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9.3.3

$2$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.2.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{10} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{6} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$