कैलकुलस उदाहरण

$\int (x + 1) \sqrt{2 - x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 2 - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$2 - x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 - x]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 1 \cdot 1$

चरण 1.1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 1$

चरण 1.1.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- 1$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int (- (- u + 2) - 1) \sqrt{u} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int (- (- u + 2) - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3

$(- (- u + 2) - 1) u^{\frac{1}{2}}$ का प्रसार करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (- - u - 1 \cdot 2 - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (- - u - 1 \cdot 2) u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int - - u u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.4

कोष्ठक ले जाएँ.

$\int - - 1 u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int 1 u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.6

$u$ को $1$ से गुणा करें.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.7

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.9

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.11

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.12

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\int u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.13

$- 2 u^{\frac{1}{2}}$ में से $1 u^{\frac{1}{2}}$ घटाएं.

$\int u^{\frac{3}{2}} - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 6

चूँकि $- 3$ बटे $u$ अचर है, $- 3$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 8

सरल करें.

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चरण 8.1

सरल करें.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$- 3$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 8.2.2

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 8.2.3

$- 6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

$- 6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 8.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 8.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 8.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 8.2.3.2.4

$- 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9

$u$ की सभी घटनाओं को $2 - x$ से बदलें.

$\frac{2}{5} {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} - 2 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$