कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt{x^{2} + 2 x - 1}$

चरण 1

$\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}$ को ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x^{2} + 2 x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 2 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

चरण 4.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

चरण 4.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 2 x - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

चरण 4.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

चरण 4.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

चरण 4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

चरण 4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

चरण 4.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

चरण 4.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

चरण 4.6.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

चरण 4.6.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

चरण 4.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.9

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.11

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.12

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + 0)$

चरण 4.13

$2 x + 2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$

चरण 4.14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.1

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.2

$2 x + 2$ को $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x + 2}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.3

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 2}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.4

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.5

$2 (x) + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.6.1

$2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x + 1)}{2 ({(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 4.14.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$