कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{x + 1} d x$

चरण 1

$x - 1$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x$

$1$

चरण 1.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	-	$1$

चरण 1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$1$

चरण 1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$

चरण 1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$
					-	$2$

चरण 1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int_{0}^{1} 1 - \frac{2}{x + 1} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{x + 1} d x$

चरण 3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{x + 1} d x$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x + 1} d x$

चरण 5

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x)$

चरण 6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 7

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 7.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 7.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 7.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 7.2

$x$ के लिए $u = x + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 7.3

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 7.4

$x$ के लिए $u = x + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + 1$

चरण 7.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 7.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 7.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

चरण 8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$x]_{0}^{1} - 2 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

चरण 9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$1$ पर और $0$ पर $x$ का मान ज्ञात करें.

$(1) + 0 - 2 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

चरण 9.2

$2$ पर और $1$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$(1) + 0 - 2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 9.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1 - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

चरण 10

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$1 - 2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$1 - 2 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

चरण 11.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$1 - 2 \ln (\frac{2}{1})$

चरण 11.3

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$1 - 2 \ln (2)$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$1 - 2 \ln (2)$

दशमलव रूप:

$- 0.38629436 \dots$

चरण 13