कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{- x} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{- x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} - e^{- x} d x$

चरण 2

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - - \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + 1 \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

चरण 3.2

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 4.1.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 4.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 4.2

$x$ के लिए $u = - x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 0$

चरण 4.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$x$ के लिए $u = - x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - \ln (2)$

चरण 4.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

चरण 4.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u$

चरण 5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u$

चरण 6

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\ln (2)$ पर और $0$ पर $x (- e^{- x})$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

चरण 7.2

$- \ln (2)$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- e^{0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

चरण 7.3.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

चरण 7.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 \cdot - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

चरण 7.3.4

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

चरण 7.3.5

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)})$ और $0$ जोड़ें.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

चरण 7.3.6

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1)$

चरण 7.3.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

चरण 8

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (2)$ को सरल करें.

$\ln (2) (- e^{\ln (2^{- 1})}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

चरण 8.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$\ln (2) (- 2^{- 1}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

चरण 8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (2) (- \frac{1}{2}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

चरण 8.4

$\ln (2)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{- \ln (2)} - 1)$

चरण 8.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (2)$ को सरल करें.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1)$

चरण 8.5.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$- \frac{\ln (2)}{2} - (2^{- 1} - 1)$

चरण 8.5.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

चरण 8.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

चरण 8.7

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

चरण 8.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

चरण 8.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.9.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

चरण 8.9.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{- 1}{2}$

चरण 8.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{\ln (2)}{2} - - \frac{1}{2}$

चरण 8.11

$- - \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.11.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{\ln (2)}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

चरण 8.11.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$0.15342640 \dots$

चरण 10