कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} x^{7} e^{- x^{8}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = x^{2}$ .फिर $d u_{1} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = x^{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{1} = x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2}$

चरण 1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{1} = x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{2}$

चरण 1.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ को ${u_{1}}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{1} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $6$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.4

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2

${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ को ${u_{1}}^{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.3

$\frac{1}{2}$ और $8$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.4

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.4.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.3

$\frac{1}{2}$ और ${u_{1}}^{3}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

चरण 2.4

$\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ और $e^{- {u_{1}}^{4}}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .फिर $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

${u_{1}}^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

चरण 4.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1}$

चरण 4.2

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2}$

चरण 4.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{2}$

चरण 4.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1$

चरण 4.6

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 4.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ को ${u_{2}}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\sqrt{u_{2}}$ को ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5.1.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5.1.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5.1.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5.2

$\frac{1}{2}$ और $u_{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 5.3

$\frac{u_{2}}{2}$ और $e^{- {u_{2}}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 7.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 8

मान लीजिए $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ .फिर $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . $u_{3}$ और $d$ $u_{3}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$- {u_{2}}^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

चरण 8.1.2

चूंकि $- 1$ , $u_{2}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{2}$ के संबंध में $- {u_{2}}^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ है.

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- (2 u_{2})$

चरण 8.1.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 u_{2}$

चरण 8.2

$u_{2}$ के लिए $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 0^{2}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = - 0$

चरण 8.3.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 8.4

$u_{2}$ के लिए $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 1^{2}$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

चरण 8.5.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 1$

चरण 8.6

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

चरण 8.7

$u_{3}$ , $d u_{3}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

चरण 9.2

$e^{u_{3}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $u_{3}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{3}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}))$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

चरण 12.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{8} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

चरण 13

$u_{3}$ के संबंध में $e^{u_{3}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{3}}$ है.

$- \frac{1}{8} e^{u_{3}}]_{0}^{- 1}$

चरण 14

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$- 1$ पर और $0$ पर $e^{u_{3}}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{8} ((e^{- 1}) - e^{0})$

चरण 14.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

चरण 14.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1)$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{8} (\frac{1}{e} - 1)$

चरण 15.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

चरण 15.3

$\frac{1}{e}$ को $\frac{1}{8}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{e \cdot 8} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

चरण 15.4

$- \frac{1}{8} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{e \cdot 8} + 1 (\frac{1}{8})$

चरण 15.4.2

$\frac{1}{8}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{e \cdot 8} + \frac{1}{8}$

चरण 15.5

$8$ को $e$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

चरण 16

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

दशमलव रूप:

$0.07901506 \dots$

चरण 17