कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{16 + r^{2}}} d r$

चरण 1

भागों द्वारा समाकल का उपयोग करके यह अभिन्न पूरा नहीं किया जा सका. Mathway दूसरी विधि का उपयोग करेगा.

चरण 2

मान लीजिए $r = 4 \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d r = 4 \sec^{2} (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $4 \sec^{2} (t)$ सकारात्मक है.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

उत्पाद नियम को $4 \tan (t)$ पर लागू करें.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 4^{2} \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.1.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.2

$16$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.3

$16 \tan^{2} (t)$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.4

$16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 + \tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.5

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.6

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.7

$16 \sec^{2} (t)$ को ${(4 \sec (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 3.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$4 \sec (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$4 \sec^{2} (t)$ में से $4 \sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

चरण 3.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 3.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

चरण 3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$4 \tan (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

चरण 3.2.2.2

उत्पाद नियम को $4 (\tan (t))$ पर लागू करें.

$\int_{0}^{0.24497866} 4^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

चरण 3.2.2.3

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{0.24497866} 64 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

चरण 4

चूँकि $64$ बटे $t$ अचर है, $64$ को समाकलन से हटा दें.

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

चरण 5

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 6

$\tan^{2} (t)$ का गुणनखंड करें.

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 7

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 8

सरल करें.

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

चरण 9

मान लीजिए $u = \sec (t)$ .फिर $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , तो $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = \sec (t)$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$\sec (t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

चरण 9.1.2

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का व्युत्पन्न $\sec (t) \tan (t)$ है.

$\sec (t) \tan (t)$

चरण 9.2

$t$ के लिए $u = \sec (t)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sec (0)$

चरण 9.3

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 9.4

$t$ के लिए $u = \sec (t)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

चरण 9.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

चरण 9.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$64 \int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 + u^{2} d u$

चरण 10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$64 (\int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

चरण 11

स्थिरांक नियम लागू करें.

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$- u]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ और $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ को मिलाएं.

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

चरण 13.2

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$64 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

चरण 14

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\sec (0.24497866)$ पर और $1$ पर $- u + \frac{u^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$64 ((- \sec (0.24497866) + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 14.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$- \sec (0.24497866)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$64 (- \sec (0.24497866) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 14.2.2

$- \sec (0.24497866)$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 14.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3 + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 14.2.4

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 14.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 14.2.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

चरण 14.2.7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

चरण 14.2.8

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

चरण 14.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

चरण 14.2.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.10.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

चरण 14.2.10.2

$- 3$ और $1$ जोड़ें.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 2}{3})$

चरण 14.2.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - - \frac{2}{3})$

चरण 14.2.12

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

चरण 14.2.13

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$- 3 \sec (0.24497866)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

चरण 15.2

$\sec^{3} (0.24497866)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

चरण 15.3

$- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

चरण 15.4

$- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ को $- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ के रूप में फिर से लिखें.

$64 (\frac{- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

चरण 15.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

चरण 16

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

दशमलव रूप:

$0.06124186 \dots$

चरण 17