कैलकुलस उदाहरण

$\ln (e^{3 x} + x)$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = e^{3 x} + x$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $e^{3 x} + x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $e^{3 x} + x$ से बदलें.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{3 x} + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 4.3.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3.2

$3$ को $e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.4

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(3 e^{3 x} + 1) \frac{1}{e^{3 x} + x}$

चरण 5.2

$3 e^{3 x} + 1$ को $\frac{1}{e^{3 x} + x}$ से गुणा करें.

$\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$