कैलकुलस उदाहरण

$\int {(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = {(2 x + 3)}^{2}$ और $d v = e^{x + 1}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - \int e^{x + 1} (8 x + 12) d x$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = 8 x + 12$ और $d v = e^{x + 1}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - \int e^{x + 1} \cdot 8 d x)$

चरण 3

$8$ को $e^{x + 1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - \int 8 e^{x + 1} d x)$

चरण 4

चूँकि $8$ बटे $x$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - (8 \int e^{x + 1} d x))$

चरण 5

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 \int e^{x + 1} d x)$

चरण 6

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 6.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 6.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 6.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 6.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 \int e^{u} d u)$

चरण 7

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 (e^{u} + C))$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 (e^{u} + C))$ को $(2 x + 3) (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$(2 x + 3) (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2 x + 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

${(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

चरण 8.2.2

$2 x + 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

${(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

चरण 8.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

${(2 x + 3)}^{1 + 1} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

चरण 8.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

चरण 9

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{x + 1}) + C$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1}) - (- 8 e^{x + 1}) + C$

चरण 10.2

$- 8$ को $- 1$ से गुणा करें.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - (8 x + 12) e^{x + 1} + 8 e^{x + 1} + C$

चरण 10.3

गुणनखंडों को $- (8 x + 12) e^{x + 1} + 8 e^{x + 1}$ में पुन: क्रमित करें.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - e^{x + 1} (8 x + 12) + 8 e^{x + 1} + C$