कैलकुलस उदाहरण

$f (t) = \frac{2 t - 4 + 5 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$

चरण 1

फलन $F (t)$ को व्युत्पन्न $f (t)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (t) = \int f (t) d t$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (t) = \int \frac{2 t - 4 + 5 \sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t$

चरण 3

$\sqrt{t}$ को $t^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{2 t - 4 + 5 t^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{t}} d t$

चरण 4

$\sqrt{t}$ को $t^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{2 t - 4 + 5 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

चरण 5

$t^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int (2 t - 4 + 5 t^{\frac{1}{2}}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

चरण 6

घातांक को ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 t - 4 + 5 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

चरण 6.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\int (2 t - 4 + 5 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

चरण 6.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int (2 t - 4 + 5 t^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (2 t - 4) t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int 2 t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 7.3

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 2 (t^{1} t^{- \frac{1}{2}}) - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 7.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int 2 t^{1 - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 7.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int 2 t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 7.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int 2 t^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 7.7

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 7.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} d t$

चरण 7.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1 - 1}{2}} d t$

चरण 7.10

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{0}{2}} d t$

चरण 7.11

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.11.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{2 (0)}{2}} d t$

चरण 7.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.11.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

चरण 7.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

चरण 7.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{0}{1}} d t$

चरण 7.11.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{0} d t$

चरण 7.12

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 \cdot 1 d t$

चरण 7.13

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 d t$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 5 d t$

चरण 9

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 5 d t$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ है.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 5 d t$

चरण 11

चूँकि $- 4$ बटे $t$ अचर है, $- 4$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 5 d t$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 t^{\frac{1}{2}}$ है.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int 5 d t$

चरण 13

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 5 t + C$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{2}{3}$ और $t^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 5 t + C$

चरण 14.2

सरल करें.

$\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 5 t + C$

चरण 14.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 5 t + C$

चरण 15

उत्तर फलन $f (t) = \frac{2 t - 4 + 5 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (t) =$ $\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 5 t + C$