कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{k} \frac{x}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} \ln (4)$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{2} + 4$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x^{2} + 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x^{2} + 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 1.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = x^{2} + 4$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

चरण 1.3

सरल करें.

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चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0 + 4$

चरण 1.3.2

$0$ और $4$ जोड़ें.

$u_{lower} = 4$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = x^{2} + 4$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = k^{2} + 4$

चरण 1.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = k^{2} + 4$

चरण 1.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{2 u} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{k^{2} + 4}$

चरण 5

$k^{2} + 4$ पर और $4$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} (\ln (| k^{2} + 4 |) - \ln (| 4 |))$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$

चरण 6.2

$\frac{1}{2}$ और $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})}{2}$

चरण 7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{| 4 |} | k^{2} + 4 |)$

चरण 8

सरल करें.

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चरण 8.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $4$ के बीच की दूरी $4$ है.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{4} | k^{2} + 4 |)$

चरण 8.2

$\frac{1}{4}$ और $| k^{2} + 4 |$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$

चरण 8.3

$\frac{1}{2}$ और $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})}{2}$