कैलकुलस उदाहरण

$y (x) = e^{x^{3} - 8}$ , $x = 2$

चरण 1

व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x^{3} - 8$ है.

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चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{3} - 8$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

चरण 1.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3} - 8$ से बदलें.

$e^{x^{3} - 8} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ है.

$e^{x^{3} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

चरण 1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + 0)$

चरण 1.2.4

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$

चरण 1.3

सरल करें.

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चरण 1.3.1

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$

चरण 1.3.2

गुणनखंडों को $3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$3 x^{2} e^{x^{3} - 8}$

चरण 2

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$y' (2) = 3 {(2)}^{2} e^{{(2)}^{3} - 8}$

चरण 3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' (2) = 3 \cdot (4 e^{{(2)}^{3} - 8})$

चरण 4

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$y' (2) = 12 e^{{(2)}^{3} - 8}$

चरण 5

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' (2) = 12 e^{8 - 8}$

चरण 6

$8$ में से $8$ घटाएं.

$y' (2) = 12 e^{0}$

चरण 7

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$y' (2) = 12 \cdot 1$

चरण 8

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$y' (2) = 12$