कैलकुलस उदाहरण

$y = x y^{2} + 4 x - y$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y^{2} + 4 x - y)$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x y^{2} + 4 x - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y^{2}$ है.

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.5

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.6

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 x y y' + y^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.3.2

$2 x y y' + y^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x y y' + y^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.4

$\frac{d}{d x} [- y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y]$ है.

$2 x y y' + y^{2} + 4 - \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 x y y' + y^{2} + 4 - y'$

चरण 3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूंकि $y'$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' = y'$

चरण 5.2

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y'$ घटाएं.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' - y' = 0$

चरण 5.2.2

$- y'$ में से $y'$ घटाएं.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - 2 y' = 0$

चरण 5.3

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2}$ घटाएं.

$2 x y y' + 4 - 2 y' = - y^{2}$

चरण 5.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$2 x y y' - 2 y' = - y^{2} - 4$

चरण 5.4

$2 x y y' - 2 y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$2 x y y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (x y) - 2 y' = - y^{2} - 4$

चरण 5.4.2

$- 2 y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1 = - y^{2} - 4$

चरण 5.4.3

$2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$

चरण 5.5

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ के प्रत्येक पद को $2 (x y - 1)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ के प्रत्येक पद को $2 (x y - 1)$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.2.2

$x y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.3.1.2

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.2.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.3.1.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 2}{x y - 1}$

चरण 5.5.3.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1}$

चरण 5.5.3.2

$- \frac{2}{x y - 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 5.5.3.3

प्रत्येक व्यंजक को $2 (x y - 1)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.3.1

$\frac{2}{x y - 1}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2}$

चरण 5.5.3.3.2

$(x y - 1) \cdot 2$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.3.5

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$y' = \frac{- y^{2} - 4}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.3.6

$- y^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (y^{2}) - 4}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.3.7

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1 (4)}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.3.8

$- (y^{2}) - 1 (4)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.3.9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.9.1

$- (y^{2} + 4)$ को $- 1 (y^{2} + 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 1 (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

चरण 5.5.3.9.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$