कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{e^{- x}}{x + 1}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{- x}$ और $g (x) = x + 1$ है.

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{(x + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$\frac{(x + 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 1) e^{- x} \cdot - 1 - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.2

$- 1$ को $(x + 1) e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 1 \cdot ((x + 1) e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.3

$- 1 (x + 1)$ को $- (x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.5

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.7.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(- x - 1 \cdot 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- x e^{- x} - 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.3.1.2

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.3.2

$- e^{- x}$ में से $e^{- x}$ घटाएं.

$\frac{- x e^{- x} - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- e^{- x} x - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.5

$- e^{- x} x - 2 e^{- x}$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- e^{- x} x$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- x} (- x) - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.5.2

$- 2 e^{- x}$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.5.3

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- x} (- x - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.6

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- x} (- (x) - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.7

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{- x} (- (x) - 1 (2))}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.8

$- (x) - 1 (2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- x} (- (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.9

$- (x + 2)$ को $- 1 (x + 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{- x} (- 1 (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{e^{- x} (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$