कैलकुलस उदाहरण

$y = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{4 π}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [4 \sin (\frac{4 π x}{3})]$

चरण 1.1.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 \sin (\frac{4 π x}{3})$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{4 π x}{3}$ के रूप में सेट करें.

$4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{4 π x}{3}$ से बदलें.

$4 (\cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $\frac{4 π}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4 π x}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \cos (\frac{4 π x}{3}) (\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$\frac{4 π}{3}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{4 π \cdot 4}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{16 π}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2.3

$\frac{16 π}{3}$ और $\cos (\frac{4 π x}{3})$ को मिलाएं.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot 1$

चरण 1.3.4

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $\frac{16 π}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{16 π}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{4 π x}{3})]$ है.

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{4 π x}{3}))$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{4 π x}{3}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{4 π x}{3}))$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{4 π x}{3}$ से बदलें.

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

चरण 2.3

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{16 π}{3}$ और $\sin (\frac{4 π x}{3})$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3}$

चरण 2.3.2

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

चरण 2.3.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$\frac{4 π}{3}$ को $\frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{4 π (16 π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

चरण 2.3.3.2

$16$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{64 π (π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

चरण 2.4

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

चरण 2.5

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

चरण 2.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - \frac{64 π^{1 + 1} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

चरण 2.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

चरण 2.7.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} x$

चरण 2.8

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot 1$

चरण 2.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} = 0$

चरण 4

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

चरण 5

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ के प्रत्येक पद को $16 π$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ के प्रत्येक पद को $16 π$ से विभाजित करें.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

चरण 5.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

$16$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

चरण 5.1.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

चरण 5.1.2.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

चरण 5.1.2.2.2

$\cos (\frac{4 π x}{3})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{16 π}$

चरण 5.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

$0$ और $16$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1.1

$0$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 π}$

चरण 5.1.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1.2.1

$16 π$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 (π)}$

चरण 5.1.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 \cdot 0}{16 π}$

चरण 5.1.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{π}$

चरण 5.1.3.2

$0$ को $π$ से विभाजित करें.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

चरण 5.2

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$\frac{4 π x}{3} = \arccos (0)$

चरण 5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$

चरण 5.4

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{3}{4 π}$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 5.5

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 5.5.1.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 5.5.1.1.2

$4 π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1.2.1

$4 π x$ में से $4 π$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 5.5.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 5.5.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 5.5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1.1

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1.1.1

$4 π$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 5.5.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 5.5.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 5.5.2.1.2

$\frac{3}{4}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{3}{4 \cdot 2}$

चरण 5.5.2.1.3

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{3}{8}$

चरण 5.6

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$\frac{4 π x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 5.7

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{3}{4 π}$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 5.7.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1.1

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 5.7.2.1.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 5.7.2.1.1.2

$4 π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1.1.2.1

$4 π x$ में से $4 π$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 5.7.2.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 5.7.2.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 5.7.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1

$\frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{3}{4 π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

चरण 5.7.2.2.1.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \frac{3}{4 π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

चरण 5.7.2.2.1.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 5.7.2.2.1.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π - π}{2}$

चरण 5.7.2.2.1.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

चरण 5.7.2.2.1.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1.4.1

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1.4.1.1

$4 π$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{3 π}{2}$

चरण 5.7.2.2.1.4.1.2

$3 π$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

चरण 5.7.2.2.1.4.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

चरण 5.7.2.2.1.4.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2}$

चरण 5.7.2.2.1.4.2

$\frac{3}{4}$ को $\frac{3}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

चरण 5.7.2.2.1.4.3

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1.4.3.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \frac{9}{4 \cdot 2}$

चरण 5.7.2.2.1.4.3.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{9}{8}$

चरण 5.8

समीकरण का हल $\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3}{8}, \frac{9}{8}$

चरण 6

$x = \frac{3}{8}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{3}{8})}{3})}{9}$

चरण 7

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\frac{3}{8}$ और $4$ को मिलाएं.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

चरण 7.1.2

$\frac{3 \cdot 4}{8}$ और $π$ को मिलाएं.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

चरण 7.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{12 π}{8}}{3})}{9}$

चरण 7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{12 π}{8}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$12 π$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{8}}{3})}{9}$

चरण 7.2.2.2

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

चरण 7.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

चरण 7.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

चरण 7.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

चरण 7.3.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$3 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

चरण 7.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

चरण 7.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{9}$

चरण 7.3.3

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- \frac{64 π^{2} \cdot 1}{9}$

चरण 7.3.4

$64$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{64 π^{2}}{9}$

चरण 8

$x = \frac{3}{8}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{3}{8}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 9

$x = \frac{3}{8}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3}{8}$ से बदलें.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{3}{8}))$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$4 π$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{8})$

चरण 9.2.1.2

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{4 (2)})$

चरण 9.2.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2})$

चरण 9.2.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

चरण 9.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

चरण 9.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{1}{2})$

चरण 9.2.3

$π$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{2})$

चरण 9.2.4

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \cdot 1$

चरण 9.2.5

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{3}{8}) = 4$

चरण 9.2.6

अंतिम उत्तर $4$ है.

$y = 4$

चरण 10

$x = \frac{9}{8}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{9}{8})}{3})}{9}$

चरण 11

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$\frac{9}{8}$ और $4$ को मिलाएं.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

चरण 11.1.2

$\frac{9 \cdot 4}{8}$ और $π$ को मिलाएं.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

चरण 11.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$9$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{36 π}{8}}{3})}{9}$

चरण 11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{36 π}{8}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

$36 π$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{8}}{3})}{9}$

चरण 11.2.2.2

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

चरण 11.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

चरण 11.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

चरण 11.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

चरण 11.3.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1

$9 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

चरण 11.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

चरण 11.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

चरण 11.3.3

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$- \frac{64 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

चरण 11.3.4

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- \frac{64 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

चरण 11.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{64 π^{2} \cdot - 1}{9}$

चरण 11.3.6

$- 1$ को $64$ से गुणा करें.

$- \frac{- 64 π^{2}}{9}$

चरण 11.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{64 π^{2}}{9}$

चरण 11.5

$- - \frac{64 π^{2}}{9}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{64 π^{2}}{9}$

चरण 11.5.2

$\frac{64 π^{2}}{9}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{64 π^{2}}{9}$

चरण 12

$x = \frac{9}{8}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{9}{8}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 13

$x = \frac{9}{8}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{9}{8}$ से बदलें.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{9}{8}))$

चरण 13.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1.1

$4 π$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{8})$

चरण 13.2.1.2

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{4 (2)})$

चरण 13.2.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{9}{4 \cdot 2})$

चरण 13.2.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{9}{2})$

चरण 13.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (3)}{2})$

चरण 13.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{2})$

चरण 13.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{3}{2})$

चरण 13.2.3

$π$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

चरण 13.2.4

$3$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

चरण 13.2.5

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

चरण 13.2.6

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

चरण 13.2.7

$4 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.7.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \cdot - 1$

चरण 13.2.7.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{9}{8}) = - 4$

चरण 13.2.8

अंतिम उत्तर $- 4$ है.

$y = - 4$

चरण 14

ये $f (x) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{3}{8}, 4)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(\frac{9}{8}, - 4)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 15