कैलकुलस उदाहरण

$\int 2 x {(2 x + 3)}^{2} d x$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int x {(2 x + 3)}^{2} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = 2 x + 3$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 2.1

मान लें $u = 2 x + 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 2.1.1

$2 x + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 2.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) u^{2} \frac{1}{2} d u$

चरण 3

$\frac{1}{2}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) \frac{u^{2}}{2} d u$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

चरण 4.2

$\frac{u}{2}$ को $\frac{u^{2}}{2}$ से गुणा करें.

$2 \int \frac{u \cdot u^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

चरण 4.3

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \int \frac{u^{1} u^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

चरण 4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 \int \frac{u^{1 + 2}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

चरण 4.5

$1$ और $2$ जोड़ें.

$2 \int \frac{u^{3}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

चरण 4.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \int \frac{u^{3}}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

चरण 4.7

$- \frac{3}{2}$ और $\frac{u^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$2 \int \frac{u^{3}}{4} - \frac{3 u^{2}}{2 \cdot 2} d u$

चरण 4.8

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \int \frac{u^{3}}{4} - \frac{3 u^{2}}{4} d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (\int \frac{u^{3}}{4} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

चरण 8

$\frac{1}{4}$ और $u^{4}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

चरण 10

चूँकि $\frac{3}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{3}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{3}{4} \int u^{2} d u))$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

चरण 12

सरल करें.

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चरण 12.1

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{4} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

चरण 12.2

सरल करें.

$2 (\frac{u^{4}}{16} - \frac{u^{3}}{4}) + C$

चरण 13

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 3$ से बदलें.

$2 (\frac{{(2 x + 3)}^{4}}{16} - \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{4}) + C$

चरण 14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 (\frac{1}{16} {(2 x + 3)}^{4} - \frac{1}{4} {(2 x + 3)}^{3}) + C$