कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{\infty} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

चरण 1

$t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = 1 + x^{2}$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = 1 + x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$1 + x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 x$

चरण 2.1.5

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = 1 + x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{lower} = 1 + 1$

चरण 2.3.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 2$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = 1 + x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

चरण 2.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

चरण 2.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{u^{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

चरण 3.2

$2$ को $u^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

चरण 5

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$u^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

चरण 5.2

घातांक को ${(u^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

चरण 5.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{- 2} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- 2}$ का समाकलन $- u^{- 1}$ है.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$

चरण 7

$\frac{1}{2}$ और $- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}}{2}$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$1 + t^{2}$ पर और $2$ पर $- u^{- 1}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 2^{- 1}}{2}$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} + \frac{1}{2}}{2}$

चरण 8.2.2

$- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

चरण 8.2.3

$- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

चरण 8.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2 + 1}{2}}{2}$

चरण 8.2.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$

चरण 8.2.6

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$ को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 8.2.7

$\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2 \cdot 2}$

चरण 8.2.8

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{4}$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1}{4}$

चरण 9.2

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)}{4}$

चरण 9.3

$- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

चरण 9.4

$- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ को $- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

चरण 9.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

चरण 10

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

चरण 10.2

$\frac{1}{4}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1$

चरण 10.3

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

चरण 10.4

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

चरण 10.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

चरण 10.6

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{1 + t^{2}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

चरण 10.7

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.7.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

चरण 10.7.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.7.2.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{4} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 10.7.2.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

चरण 10.7.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

चरण 10.7.2.3

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.7.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{4})$

चरण 10.7.2.3.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{4}$

दशमलव रूप:

$0.25$