कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$\sqrt[3]{- x - 2}$ को ${(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ और $g (x) = - x - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x - 2$ के रूप में सेट करें.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x - 2$ से बदलें.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.8

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.9

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.11.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.11.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.13

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.14

$- 1$ और $0$ जोड़ें.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.15

$\frac{1}{3}$ और ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.16

$\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.17

$- 1$ को ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.18

$- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ को $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.19

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.20

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.21

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.22

$- 3$ और $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.23

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.24

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.24.1

$3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.24.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.24.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.25

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

चरण 1.3.2

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ है.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ को ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.2.2

घातांक को ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.2.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ और $g (x) = - x - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x - 2$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{2}{3}$ है.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x - 2$ से बदलें.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.7.2

$- 2$ में से $3$ घटाएं.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.8.2

${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - (- \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.8.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.3.1

$2$ को ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = - (- \frac{2 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.8.3.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.8.3.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 1 (\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.8.3.4

$\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.10

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.11

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.12

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.13

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + 0) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.14

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.14.1

$- 1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot - 1 + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.14.2

$\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.14.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.14.3.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.14.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.15

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

चरण 2.16

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.16.1

$\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

चरण 2.16.2

$- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.2

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x - 2$ के रूप में सेट करें.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.3.2

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x - 2$ से बदलें.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.6

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.8

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.9

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.11.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.11.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.13

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.14

$- 1$ और $0$ जोड़ें.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.15

$\frac{1}{3}$ और ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.16

$\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.17

$- 1$ को ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.18

$- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ को $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.19

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.20

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.21

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.22

$- 3$ और $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.23

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.24

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.24.1

$3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.24.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.24.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.25

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

चरण 4.1.3.2

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ है.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 = 0$

चरण 5.3

$1 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$- \frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$

चरण 6.2

$\frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}} = 0$

चरण 6.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें.

${\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}$ को ${(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1

घातांक को ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.2.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(- x - 2)}^{2} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

${(- x - 2)}^{2} = 0$

चरण 6.3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1.1

$- x - 2$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1.1.1

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

${(- (x) - 2)}^{2} = 0$

चरण 6.3.3.1.1.2

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

${(- (x) - 1 \cdot 2)}^{2} = 0$

चरण 6.3.3.1.1.3

$- (x) - 1 (2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

${(- (x + 2))}^{2} = 0$

चरण 6.3.3.1.2

उत्पाद नियम को $- (x + 2)$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$

चरण 6.3.3.2

${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को ${(- 1)}^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.2.1

${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को ${(- 1)}^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

चरण 6.3.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

चरण 6.3.3.2.2.1.2

${(x + 2)}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

चरण 6.3.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.2.3.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{1}$

चरण 6.3.3.2.3.2

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

${(x + 2)}^{2} = 0$

चरण 6.3.3.3

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 6.3.3.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = - 2$

चरण 8

$x = - 2$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{2}{3 {(- (- 2) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{3 {(2 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 9.1.2

$2$ में से $2$ घटाएं.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

चरण 9.1.3

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{2}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 9.1.4

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

चरण 9.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

चरण 9.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{5}}$

चरण 9.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

चरण 9.3.2

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{0}$

चरण 9.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$- \frac{2}{0}$

चरण 9.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 10

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

चरण 10.2

पहले व्युत्पन्न $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ में अंतराल $(- \infty, - 2)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 4$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(- (- 4) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1.1

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.2.2.1.2

$4$ में से $2$ घटाएं.

$f' (- 4) = - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.2.2.2

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ है.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.3

पहले व्युत्पन्न $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ में अंतराल $(- 2, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $0$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = - \frac{1}{{(- (0) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = - \frac{1}{{(0 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.3.2.1.2

$0$ में से $2$ घटाएं.

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.3.2.2

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ है.

$- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.4

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने $x = - 2$ के आसपास के संकेतों को नहीं बदला, यह स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है.

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं

चरण 10.5

$f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ के लिए कोई स्थानीय अधिकतम या निम्नतम नहीं मिला.

कोई स्थानीय अधिकतम या निम्नतम नहीं है

चरण 11