कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{2 x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ .फिर $d u_{1} = 15 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{15} d u_{1} = x^{2} d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$5 x^{3} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 1]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x^{3} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{3}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.3.3

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$15 x^{2} + 0$

चरण 2.1.4.2

$15 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$15 x^{2}$

चरण 2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{15} d u_{1}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}}$ को $\frac{1}{15}$ से गुणा करें.

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{(3 - e^{u_{1}}) \cdot 15} d u_{1}$

चरण 3.2

$15$ को $3 - e^{u_{1}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{15 (3 - e^{u_{1}})} d u_{1}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{15}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{15}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1})$

चरण 5

$\frac{1}{15}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1}$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ .फिर $d u_{2} = - e^{u_{1}} d u_{1}$ , तो $- \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$3 - e^{u_{1}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [3 - e^{u_{1}}]$

चरण 6.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $3 - e^{u_{1}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

चरण 6.1.2.2

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

चरण 6.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $- e^{u_{1}}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$ है.

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

चरण 6.1.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$0 - e^{u_{1}}$

चरण 6.1.4

$0$ में से $e^{u_{1}}$ घटाएं.

$- e^{u_{1}}$

चरण 6.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{2}{15} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2}{15} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{2}{15} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

चरण 9

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{2}{15} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

$\frac{2}{15} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

चरण 10.2

$\frac{2}{15}$ और $\ln (| u_{2} |)$ को मिलाएं.

$- \frac{2 \ln (| u_{2} |)}{15} + C$

चरण 11

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 - e^{u_{1}}$ से बदलें.

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{u_{1}} |)}{15} + C$

चरण 11.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $5 x^{3} + 1$ से बदलें.

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |)}{15} + C$

चरण 12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{2}{15} \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |) + C$